Jocul 10 · Creștere exponențială
O maimuță apasă taste la întâmplare. Când îți scrie numele?
O maimuță stă la o tastatură cu cele 31 de litereale alfabetului românesc. Apasă taste complet la întâmplare, una după alta, fără oprire.
Mai devreme sau mai târziu, va scrie orice cuvânt. Dar cât de târziu?
Doar literele alfabetului românesc, fără spații.
Ghicește ordinul de mărime, în medie.
Cum funcționează matematica?Joacă întâi. Apoi deschide explicația.
O literă, apoi încă una
Maimuța are 31 de taste. Șansa să apese exact litera de care ai nevoie e o șansă din 31. Ca să scrie un cuvânt de litere dintr-o bucată, trebuie să nimerească fiecare literă, una după alta:
Fiecare literă în plus înmulțește dificultatea cu 31. Asta e creșterea exponențială: nu adaugi, înmulțești.
Câte litere, în medie?
Pentru un cuvânt fără repetiții „ciudate” (cum e „mar”), răspunsul e simplu: în medie, maimuța tastează litere până apare.
| Cuvânt | Litere tastate, în medie | La 5 litere pe secundă |
|---|---|---|
| ion | 29.791 | 2 ore |
| mama | 924.482 | 2 zile |
| maria | 28,6 milioane | 66 de zile |
| bucurești | 2,6 × 10¹³ | 167.564 de ani |
| constantinescu | 7,6 × 10²⁰ | 4,8 × 10¹² de ani |
Un detaliu frumos: cuvintele care se repetă
Surprinzător, „ana” durează mai mult în medie decât „ion”, deși ambele au 3 litere și fiecare apare cu aceeași șansă într-o poziție dată.
Motivul: aparițiile lui „ana” se pot suprapune. În „anana” sunt două, lipite. Cum numărul total de apariții pe termen lung e același pentru orice cuvânt de 3 litere, dacă „ana” vine uneori în grupuri, înseamnă că între grupuri pauzele sunt mai lungi. Iar prima apariție vine, în medie, mai târziu.
Regula exactă: aduni pentru fiecare la care primele litere sunt la fel cu ultimele . Pentru „ana” se potrivesc și , deci 29.822 de litere, față de 29.791 pentru „ion”.
Teorema maimuței infinite
Matematicienii spun că o maimuță care tastează la nesfârșit va scrie sigur, la un moment dat, orice text: numele tău, o carte întreagă, tot ce s-a scris vreodată. E adevărat, pentru că șansa nu e zero.
Dar „sigur” nu înseamnă „curând”. Pentru un nume de familie lung, timpul depășește de mii de ori vârsta Universului. Pentru o carte întreagă, numărul nici nu mai are sens. Ceva posibil poate fi, practic, imposibil.