Jocul 4 · Paradoxul zilei de naștere
Câți invitați trebuie să vină până când doi au aceeași zi de naștere?
Dai o petrecere. Invitații sosesc pe rând și fiecare îți spune când e născut. Anul are365 de zile.
La al câtelea invitat crezi că apar primii doi născuți în aceeași zi?
Fără calcule. Ce-ți spune instinctul?
Cum funcționează matematica?Joacă întâi. Apoi deschide explicația.
Nu numeri oameni. Numeri perechi.
Intuiția se întreabă: câți oameni trebuie să vină ca să nimerească cineva ziua mea? Asta e o altă întrebare, iar pentru ea chiar ai nevoie de sute de oameni.
Noi căutăm orice pereche: doi invitați oarecare, cu aceeași zi. Fiecare invitat nou se compară cu toți cei care au venit deja. Cu 23 de oameni sunt deja 253 de perechi posibile, și fiecare are o mică șansă să cadă în aceeași zi.
Calculul: șansa să nu fie nicio pereche
E mai ușor să calculăm opusul. Primul invitat poate avea orice zi. Al doilea trebuie să evite o zi: șansa e . Al treilea trebuie să evite două: . Și tot așa:
Fiecare fracție e aproape 1, dar înmulțite multe la un loc, produsul scade repede. La coboară sub jumătate, deci șansa să existe o pereche e 50,7%.
Câteva repere
- Cu 23 de oameni, perechea e mai probabilă decât lipsa ei.
- Cu 57 de oameni, e aproape sigură (peste 99%).
- În medie, prima pereche apare la al 24,6-lea invitat.
- Abia la 366 de oameni e garantată: nu există destule zile pentru toți.
Ce am simplificat
Am ignorat 29 februarie și am presupus că toate zilele sunt la fel de probabile. În realitate, nașterile nu sunt perfect egale de-a lungul anului. Asta face perechile puțin mai probabile, nu mai puțin: orice dezechilibru îi adună pe oameni în aceleași zile.